1 [1]

Необходимо прежде всего охарактеризовать некоторые употребляемые здесь в строгом и частично новом смысле основные понятия, метафизическое содержание которых установится само собой в ходе изложения, но недвусмысленность которых должна быть определена уже с самого начала.

Популярное различение бытия и становления, первичное и для философии, оказывается по всей видимости негодным для действительного уразумения сути предполагаемой им противоположности. Бесконечное становление -- действенность, "действительность", -- примерами чему могут служить разве что физические понятия равномерной скорости и состояния движения или основное представление кинетической теории газов, всегда вместе с тем будет восприниматься и как состояние и, как таковое, по необходимости относиться к бытию. В противоположность этому позволительно -- вместе с Гёте -- в качестве последних элементов безусловно данного в бодрствовании ("сознание") и бодрствованием различать становление и ставшее. Во всяком случае, даже если сомневаться в возможности приближения к последним основаниям человеческого путем абстрактного образования понятий, остается достаточно ясное и определенное чувство, из которого проистекает эта фундаментальная, соприкасающаяся с крайними границами бодрствования противоположность, и чувство это представляет собою то исконное нечто, которого вообще можно достичь.

Отсюда следует необходимым образом, что в основе ставшего всегда лежит становление, а не наоборот.

Кроме того, обозначениями "собственное" и "чужое" я различаю два первичных факта бодрствования, смысл которых для каждого бодрствующего человека -- стало быть, не для сновидящего -- устанавливается с непосредственной внутренней достоверностью, не поддающейся более детальному определению посредством некой дефиниции. Элемент чужого всегда так или иначе связан с изначальным фактом, обозначаемым через слово ощущение ("чувственный мир"). Пластическая философская способность великих мыслителей во все времена пыталась с большей остротой постичь эту связь путем полунаглядных схематических членений типа "явление" и "вещь в себе", "мир как воля и представление", "Я" и "не-Я", хотя это намерение явно превосходит возможности точного человеческого познания. Равным образом в первичном факте, обозначаемом как чувствование ("внутренний мир"), на некий лад, строгая формулировка которого также остается неподвластной методам абстрактного мышления, таится элемент собственного.

Далее, я обозначаю словами душа и мир ту противоположность, наличие которой идентично самому факту чисто человеческого бодрствования. Есть различные степени ясности и остроты этой противоположности, стало быть, степени духовности бодрствования, от смутного и все же временами просвечивающего глубины понимающего ощущения первобытного человека и ребенка -- сюда относятся все более редкие в позднейшие эпохи мгновения религиозного и художественного вдохновения - до крайней остроты только понимающего бодрствования, как, скажем, в состояниях кантовского и наполеоновского мышления. Здесь противоположность души и мира стала противоположностью субъекта и объекта. Эта элементарная структура бодрствования, в качестве факта непосредственной внутренней достоверности, недоступна понятийному расчленению, и столь же несомненным оказывается то, что оба названных элемента, только лингвистически и в известной мере искусственно поддающиеся разделению, постоянно сосуществуют друг с другом и друг в друге и явным образом выступают как единство, как некая целостность, причем теоретико-познавательный предрассудок прирожденного идеалиста и реалиста, согласно которому либо душа является первоосновой мира, либо мир первоосновой души, нисколько не мотивирован в факте бодрствования как такового. Акцентируется ли в философской системе то или другое -- это характеризует лишь личность и имеет чисто биографическое значение.

Если применить понятия становления и ставшего к этой структуре бодрствования как напряжения противоположностей, то слово жизнь получит совершенно определенный, родственный по значению понятию становления смысл. Можно обозначить становление и ставшее как гештальт, в котором факт и результат жизни явлены бодрствованию. Собственная, поступательная, постоянно осуществляющаяся жизнь, поскольку человек бодрствует, выявляется в его бодрствовании именно элементом становления -- этот факт называется настоящим, -- и, как и всякое становление, она обладает таинственным признаком направления, которое человек во всех развитых языках пытался умственно заклясть и -- тщетно -- объяснить словом время и связанными с ним проблемами. Отсюда вытекает глубокая связь ставшего (оцепеневшего) со смертью.

Если назвать душу -- и притом ее прочувствованный тип, а не помысленную и представленную картину -- возможным, а мир действительным -- выражения, относительно смысла которых внутреннее чувство не оставляет никакого сомнения, -- то жизнь предстанет гештальтом, в котором происходит осуществление возможного. С учетом признака направления возможное называется будущим, осуществленное -- прошлым. Само осуществление, средоточие и смысл жизни, мы называем настоящим. "Душа" есть то, что подлежит осуществлению, "мир" -- осуществленное, "жизнь" - осуществление. Выражения типа "мгновение", "длительность", "развитие", "жизненное содержание", "назначение", "объем", "цель", "полнота" и "пустота жизни" получают тем самым определенное, существенное для всего последующего, в особенности для понимания исторических феноменов, значение.

Наконец, слова история и природа, как уже упоминалось, будут употребляться в совершенно конкретном и непривычном до сих пор смысле. Следует разуметь под ними возможные способы понимания всей совокупности осознанного, становления и ставшего, жизни и пережитого в форме единой, одухотворенной, благоустроенной картины мира, в зависимости от того, какому пластическому принципу подчинено неделимое впечатление: становлению или ставшему, направлению или протяженности ("времени" или "пространству"). Речь идет здесь не об альтернативе, но о ряде бесконечно многих и весьма разнообразных возможностей овладения "внешним миром" в качестве отражения и свидетельства собственного существования, -- ряде, крайними членами которого являются чисто органическое и чисто механическое мировоззрения (в буквальном смысле слова: воззрение на мир). Первобытный человек (каким мы представляем себе его бодрствование) и ребенок (согласно нашим собственным воспоминаниям) не обладают еще ни одной из этих возможностей в достаточно ясном и законченном виде. В качестве условия такого высшего мироосознания следует принять владение языком, и притом не каким-либо человеческим языком вообще, а языком культуры, который не существует еще для первого, а для второго хоть и существует, но еще не доступен. Иначе говоря, у обоих отсутствует еще ясное и отчетливое мышление о мире: есть только предчувствие, но нет покуда действительного знания об истории и природе, во взаимосвязь которых было бы включено их собственное существование: у них нет культуры.

Тем самым это важное слово получает определенный и весьма значительный смысл, который предполагается во всем последующем изложении. Учитывая вышеупомянутые обозначения души как возможного и мира как действительного, я различаю возможную и действительную культуру, т.е. культуру как идею -- общего или единичного -- существования и культуру как плоть этой идеи, как сумму ее очувствленных, ставших пространственными и доступными выражений: деяний и настроений, религии и государства, искусств и наук, народов и городов, хозяйственных и общественных форм, языков, правовых отношений, нравов, характеров, черт лица и одеяний. Высшая история, близкородственная жизни и становлению, есть осуществление возможной культуры [2].

Следует прибавить, что эти основополагающие определения по большей части не подлежат уже передаче путем понятий, дефиниций и доказательств и что они, сообразно их глубочайшему значению, должны быть скорее прочувствованы, пережиты, увидены. Между переживанием и познаванием, между непосредственной достоверностью, допускаемой различными видами интуиции (озарением, наитием, художественным созерцанием, жизненным опытом, взглядом знатока людей, гётевской "точной чувственной фантазией"), и результатами рассудочного опыта и экспериментальной техники существует различие, редко оцениваемое по достоинству. Там сообщению служат сравнение, образ, символ; здесь -- формула, закон, схима. Ставшее познается, или скорее, как это выяснится в дальнейшем, бытие ставшего идентично для человеческого ума законченному акту познания. Становление может быть только пережито и прочувствовано с глубоким, бессловесным пониманием. На этом и покоится так называемое знание людей. Понимать историю -- значит быть знатоком людей в высшем смысле слова. Чем чище картина истории, тем более доступна она этому проникающему в глубину чужих душ взору, который не имеет ничего общего с познавательными средствами, исследуемыми "Критикой чистого разума". Механизм чистой картины природы, скажем мира Ньютона и Канта, познается, обрабатывается понятиями, расчленяется, сводится к законам и уравнениям, наконец к системе. Организм чистой картины истории, каковым был мир Плотина, Данте и Бруно, созерцается, внутренне переживается, постигается как гештальт и символ и наконец воссоздается в поэтических и художественных концепциях. -- Гётева "живая природа" есть историческая картина мира [3].

2

В качестве примера того, как душа стремится осуществить себя в картине окружающего ее мира, того, стало быть, насколько ставшая культура является выражением и отображением идеи человеческого существования, я выбираю число, лежащее как безусловно данный элемент в основе всякой математики. Мой выбор оттого и падает на этот пример, что математика, доступная во всей своей глубине очень немногим, сохраняет единственное в своем роде положение среди всех творений духа. Она есть наука строжайшего стиля, как и логика, но более масштабная и гораздо более содержательная; в том, что касается необходимости ведущего вдохновения и больших конвенций формы в ее развитии, она представляет собою наряду с пластикой и музыкой настоящее искусство; она, наконец, является метафизикой высшего ранга, как это доказывают Платон и прежде всего Лейбниц. Каждая философия росла до сих пор в связи с соответствующей математикой. Число есть символ каузальной необходимости. В качестве понятия о Боге оно содержит последний смысл мира-как-природы. Поэтому существование чисел можно назвать мистерией, и религиозному мышлению всех культур не остался чужд его отпечаток [4].

Подобно тому как всякое становление несет в себе изначальный признак направления (необратимости), так и все ставшее отмечено признаком протяженности, и притом так, что возможным оказывается лишь искусственное разделение значения этих слов. Но действительная тайна всего ставшего и, следовательно (пространственно-материально) протяженного, воплощается в типе математического числа, в противоположность хронологическому. Именно, в его сущности заложено стремление к механическому разграничению. Число здесь родственно слову, которое -- "поимая", "помечая" в качестве понятия -- равным образом очерчивает впечатления о мире. Конечно, глубочайшее остается и тут непостижимым и невыразимым. Действительное число, с которым работает математик, точно представленный, произнесенный, написанный числовой знак -- цифра, формула, обозначение, фигура, - подобно помысленному, произнесенному, написанному слову, оказывается в этом смысле символом, чем-то наглядным и доступным передаче, осязаемым для внутреннего и внешнего взора, в котором отражается само разграничение. Происхождение чисел сродни происхождению мифа. Первобытный человек возводил в божества, numina, не поддающиеся определению впечатления природы ("чужое"), заклиная их с помощью разграничивающего их имени. Так же и числа суть нечто разграничивающее природные впечатления и тем самым заклинающее их. Именами и числами человеческое понимание приобретает власть над миром. Язык знаков математики и грамматика словесного языка в конечном счете обладают одинаковой структурой. Логика всегда представляет собою своего рода математику, и наоборот. Вместе с тем во всех актах человеческого понимания, связанных с математическим числом, -- измерение, счисление, обозначение, взвешивание, упорядочение, разделение [5] -- заложена представленная формами доказательства, умозаключения, тезиса, системы языковая тенденция к разграничению протяженного, и лишь в силу едва осознанных актов этого рода бодрствующий человек посредством порядковых чисел удостоверяет наличие однозначно определенных предметов, свойств, отношений, единичного, единства и множества, короче, воспринятой как нечто необходимое и незыблемое структуры той картины мира, которую он именует "природой" и "познает" в качестве таковой. Природа -- это то, что подлежит счислению. История есть совокупность того, что не имеет к математике никакого отношения. Отсюда математическая достоверность законов природы, удивительная прозорливость Галилея, что природа "scritta in lingua matematica", и подчеркнутый Кантом факт, что точное естествознание простирается до тех самых границ, в пределах которых возможно применение математических методов.

Таким образом, в числе, как знаке совершенного ограничения, лежит, как это благодаря грандиозной, безоговорочно религиозной интуиции с глубочайшей несомненностью понял Пифагор или кто-нибудь еще, сущность всего действительного, всего одновременно ставшего, познанного и ограниченного. Однако математику, понимаемую как способность практически мыслить в числах, нельзя смешивать с гораздо более узкой научной математикой, с устно или письменно развитым учением о числах. Писаная математика столь же мало, как и изложенная в теоретических трудах философия, представляет всю полноту того, что в недрах определенной культуры представало математическому и философскому взору. Существуют еще и совершенно иные пути ощутимого выражения прачувства, лежащего в основе чисел. В истоках каждой культуры выступает архаический стиль, который можно было бы назвать геометрическим не только в отношении раннеэллинского искусства. Есть что-то общее, определенно математическое в этом античном стиле X века, в храмовом стиле 4-й египетской династии с присущим ему безусловным господством прямой линии и прямого угла, в древнехристианском саркофаговом рельефе и в романском строении и орнаменте. Каждая линия, каждая человеческая или звериная фигура, начисто лишенная какого-либо подражательного умысла, обнаруживает здесь мистическое числовое мышление, непосредственно связанное с таинством смерти (застывшего).

Готические соборы и дорические храмы суть окаменевшая математика. Конечно, именно Пифагор впервые научно осмыслил античное число как принцип миропорядка осязаемых вещей, как меру или величину. Но именно тогда же оно получило свое выражение и как прекрасное устроение чувственно-телесных единств через строгий канон статуи и дорический ордер. Все великие искусства представляют собой в равной мере способы многозначительно числового полагания границ. Достаточно лишь вспомнить о проблеме пространства в живописи. Высокое математическое дарование может и без всякой науки быть технически продуктивным и в этой форме полностью осознать себя. Имея перед собой мощное понимание числа, наличие которого уже в Древнем Царстве предполагается пространственным членением пирамидного храма, строительной, оросительной и административной техникой, не говоря уже о египетском календаре, не станут же утверждать, что никчемный "Учебник арифметики Яхмоса" из эпохи Нового Царства определяет уровень египетской математики. Аборигены Австралии, интеллект которых находится еще на ступени первобытного человека, обладают математическим инстинктом, или, что то же, неким невыразимым еще посредством слов и знаков мышлением в числах, далеко превосходящим греческое в том, что касается интерпретации чистой пространственности. Они изобрели в качестве оружия бумеранг, который позволяет судить об интуитивном знакомстве с типами чисел, которые мы отнесли бы к высшему геометрическому анализу. Соответственно этому они обладают -- в силу причин, которые будут выяснены позже, -- крайне сложным церемониалом и такой утонченной языковой гаммой различных степеней родства, какая не наблюдается нигде, даже в развитых культурах. Это скликается с тем фактом, что греки в период своей наибольшей зрелости при Перикле были, по аналогии с евклидовой математикой, лишены как понимания церемониала общественной жизни, так и одиночества, в полном контрасте с эпохой барокко, которое наряду с анализом пространства видело возникновение двора короля-солнца и системы государств, основывающихся на династическом родстве.

То, что выражается в мире чисел, но не в одной только его научной формулировке, есть стиль души.

3

Отсюда явствует решающий факт, который до сих пор оставался скрытым от самих математиков.

Не существует и не может существовать никакого числа в себе. Есть множество миров чисел, так как есть множество культур. Мы обнаруживаем индийский, арабский, античный, западный тип математического мышления и вместе тип числа, каждый по самой сути своей представляющий нечто самобытное и единственное, каждый являющийся выражением особого мирочувствования, символом некой значимости, точно ограниченной также и в научном отношении, принципом устроения ставшего, в котором отражается глубочайшая сущность одной-единственной, а не какой-нибудь еще души, той самой, которая является средоточием именно этой, а не какой-нибудь иной культуры. Таким образом, существует более чем одна математика. Ибо, вне всякого сомнения, внутренняя структура евклидовой геометрии полностью отличается от картезианской, анализ Архимеда -- от анализа Гаусса, не только по языку форм, замыслу и средствам, но прежде всего по существу, в изначальном и недифференцированном смысле числа, научное развитие которого они являют. Это число, а значит, и пограничное переживание, самоочевидным образом получившее в нем наглядность, и уже вся природа, протяженный мир, образ которого возник через это полагание границы и который поддается трактовке всегда только с помощью особого рода математики, -- все это говорит не о роде человеческом вообще, а всякий раз о вполне определенном.

Таким образом, стиль какой-либо возникающей математики зависит от того, в какой культуре она коренится, какие люди о ней размышяют. Дух может научно развить заложенные в нем возможности, применять их, достичь высочайшей зрелости в обращении с ними; но чего он совершенно не в силах сделать, так это изменить их. В наиболее ранних формах античного орнамента и готической архитектуры осуществлена идея евклидовой геометрии и счисления бесконечно малых, за целые столетия до того, как родился первый ученый математик этих культур.

Глубокое внутреннее переживание, действительное пробуждение Я, делающее младенца развитым человеком, членом принадлежащей ему культуры, знаменует начало числового, как и языкового, понимания. Лишь с этого момента для бодрствующего сознания существуют предметы как нечто обозначенное и явно различающееся по числу и роду; лишь с этого момента возникают точно определимые свойства, понятия, каузальная необходимость, система окружающего мира, форма мира, мировые законы - "законное" по самой природе своей есть всегда ограниченное, застывшее, подчиненное числам -- и внезапное, почти метафизическое ощущение страха и благоговения перед тем, что в глубинном смысле означают измерение, счисление, обозначение, формы.

И вот Кант разделил весь корпус человеческого знания по априорным (необходимым и общеобязательным) и апостериорным (происходящим от случая к случаю из опыта) синтезам и причислил математическое познание к первым. Несомненно, тем самым он дал абстрактную формулировку сильному внутреннему чувству. Но, не говоря о том, что между этими двумя сферами не существует четкой границы, безусловно требуемой, казалось бы, самим происхождением принципа (примерами чему в более чем достаточной мере изобилуют новая высшая математика и механика), уже и сама априорность, бесспорно одна из гениальнейших концепций всякой критики познания, предстает весьма сложным понятием. Кант, не утруждая себя доказательствами -- каковые и в самом деле невозможны, -- препостулирует ею как неизменность формы всякой умственной деятельности, так и ее идентичность для всех людей. Вследствие этого было совершенно упущено из виду одно обстоятельство чрезвычайной важности, прежде всего потому, что Кант при проверке своих мыслей считался только с духовным габитусом своего времени, чтобы не сказать -- только со своим собственным. Оно связано с неустойчивой степенью этой "общеобязательности". Наряду с некоторыми моментами несомненно широкого значения, не зависящими -- по крайней мере внешне -- от принадлежности познающего к данной культуре и столетию, в основе всякого мышления лежит еще и совершенно иная необходимость формы, которой человек со всей самоочевидностью подчинен именно как член этой вот, и никакой иной, культуры. Это два достаточно различных вида априорного содержания, и вопрос, какова разделяющая их граница и есть ли вообще таковая, остается по существу неразрешимым, так как лежит он по ту сторону всех возможностей знания. Что считающееся до сих пор самоочевидным постоянство духовной конституции является иллюзией, что в пределах предлежащей нам истории существует множество познавательных стилей -- этого до нынешнего времени не решались признать. Но следовало бы помнить, что единомыслие в вещах, которые даже и не стали еще проблемами, может свидетельствовать не только об общей истине, но и об общем самообмане. Смутное сомнение, во всяком случае, всегда было налицо, и уже из факта разногласия всех мыслителей, сплошь наблюдаемого в истории мышления, можно было бы сделать правильный вывод. Но что это разногласие восходит не к несовершенству человеческого духа, не к какому-то "еще не" какого-то окончательного познания, что оно оказывается не недостатком, а фатальной исторической необходимостью -- это есть открытие. Глубочайшее и последнее может быть обнаружено не из постоянства, а только из различия, и к тому же из органической логики этого различия. Сравнительная морфология форм познания - такова задача, предстоящая еще западному мышлению.

4

Будь математика просто наукой, как астрономия или минералогия, ее предмет поддавался бы определению. Но это невозможно и никогда не было возможно. Как бы насильственно ни прилагали мы, западноевропейцы, наше научное понятие числа к тому, что занимало математиков в Афинах и Багдаде, остается несомненным, что тема, цель и метод одноименной науки были там совершенно иными. Не существует никакой одной математики, есть лишь множество математик. То, что мы называем историей "математики", подразумевая постепенное осуществление единственного и неизменного идеала, является на деле, стоит лишь устранить обманчивую картину исторической поверхности, множественным числом замкнутых в себе, независимых развитий, неким возобновляющимся рождением новых, усвоением, преобразованием и преодолением чуждых миров форм, чисто органическими, связанными с определенной длительностью расцветом, зрелостью, увяданием и умиранием. Не следует обманываться. Античный дух сотворил свою математику почти из ничего; исторически предопределенный дух Запада, обладавший уже перенятой античной наукой внешне, не внутренне, -- должен был приобретать собственную путем мнимых изменений и поправок, фактически же путем уничтожения чуждой ему по существу евклидовой. Одно случилось через Пифагора, другое через Декарта. Оба акта идентичны в глубинном смысле.

Сродство языка форм какой-то одной математики с языком форм соседних больших искусств [6] не подлежит, таким образом, никакому сомнению. Ощущение жизни у мыслителей и художников весьма различно, но средства выражения их бодрствования внутренне обладают одинаковой формой. Чувство формы у ваятеля, живописца, композитора является по сути математическим. В геометрическом анализе и проективной геометрии XVII столетия обнаруживается тот же одухотворенный строй бесконечного мира, который силится вызвать к жизни, охватить, проникнуть одновременная музыка путем развитой из искусства генерал-баса гармонии, этой геометрии звукового пространства, и родственная ей масляная живопись посредством принципа известной только Западу перспективы, этой прочувствованной геометрии образного пространства. Он и есть то, что Гёте называл идеей, гештальт которой непосредственно созерцается в чувственном, тогда как чистая наука не созерцает, но лишь наблюдает и разлагает. Но математика выходит за рамки наблюдения и разложения. В минуты высочайшего своего подъема она действует духовидчески, а не путем абстрагирования. Гёте принадлежит еще одно глубокое слово, что математик лишь постольку является совершенным, поскольку ощущает в себе красоту истинного. Здесь чувствуется, как близка тайна, лежащая в сущности числа, тайне художественного творения. Тем самым прирожденный математик становится в один ряд с великими мастерами фуги, резца и кисти, равным образом стремящимися облечь в символы, осуществить и сообщить другим тот великий распорядок всех вещей, который обыкновенный человек их культуры носит в себе, фактически им не обладая. Тем самым царство чисел становится отображением мировой формы, наряду с царством тонов, линий и красок. Оттого слово "творческое" имеет в математическом большее значение, чем в голых науках. Ньютон, Гаусс, Риман были художественными натурами. Пусть только справятся, как внезапно осеняли их великие концепции. "Математик, - говорит старик Вейерштрасс, - который вместе с тем не несет в себе частицы поэта, никогда не станет совершенным математиком".

Математика, таким образом, есть тоже искусство. У нее есть свои стили и периоды стилей. По своей сущности она, как полагает профан - даже философ, поскольку он рассуждает здесь как профан, - не неизменна, но, подобно всякому искусству, подвержена от эпохи к эпохе незаметным превращениям. Никогда не следовало бы излагать развитие больших искусств, не бросая взор - явно не бесплодный - на одновременную математику. Частности в глубоких взаимоотношениях между метаморфозами теории музыки и анализа бесконечного ни разу не были исследованы, хотя эстетика могла бы извлечь отсюда больше, чем из всякого рода "психологии". Еще более поучительной оказалась бы история музыкальных инструментов, если бы она излагалась не с технических точек зрения выработки тона, как это происходит сплошь и рядом, а из последних душевных глубин взыскуемой звуковой окраски и звукового воздействия. Ибо ностальгически обостренное желание сотворить пространственную бесконечность звучаний уже в готическое время, в противовес античной лире и свирели (лира, кифара; флейта, цевница) и арабской лютне, вызвало к жизни оба господствующих семейства органных (клавишных) и струнных инструментов. То и другое, каковым бы ни было их техническое происхождение, сообразно самой душе их звучаний были усовершенствованы на кельтско-германском Севере между Ирландией, Везером и Сеной, орган и клавикорд, бесспорно, в Англии. Струнные инструменты приобрели свою окончательную форму в Верхней Италии между 1480 и 1530 годами; орган главным образом в Германии развился в покоряющий пространство самостоятельный инструмент гигантских размеров, не имеющий себе аналога во всей истории музыки. Свободная органная игра Баха и его эпохи представляет собою, бесспорно, анализ огромного и просторного звукового мира. И в такой же степени соответствует внутренней форме именно западной, а не античной, математической мысли, когда струнные и духовые инструменты развиваются в целые группы одинаковой тембровой окраски не сами по себе, а сообразно регистру человеческого голоса (струнный квартет, деревянные духовые инструменты, группа медных инструментов), так что история современного оркестра со всеми изобретениями новых и метаморфозами старых инструментов оказывается в действительности историей единства некоего звукового мира, который вполне позволяет описывать себя в терминах высшего анализа.

5

Когда в кругу пифагорейцев около 540 года пришли к пониманию, что сущность всех вещей есть число, то это стало не "шагом вперед в развитии математики", но рождением совершенно новой математики из глубин античной душевности, -- математики, оформившейся как сознающая себя теория, с давних пор возвещенная в метафизических вопрошаниях и в тенденциях художественной формы. То была новая математика, подобно всегда остававшейся ненаписанной математике египетской культуры и алгебраически-астрономически сконструированной математике вавилонской культуры с ее эклиптическими системами координат (обе родились однажды в великий час истории и к тому времени были уже давно умершими). Завершенная во втором дохристианском столетии, античная математика исчезла из мира, несмотря на сохранившееся и по сей день в нашем способе обозначения призрачное существование, чтобы в далекой перспективе уступить место арабской. Все, что мы знаем об александрийской математике, предполагает наличие в этой области значительных миграций, центр тяжести которых, бесспорно, должен был лежать в персидско-вавилонских школах типа Эдессы, Гондишапура и Ктесифона и которые лишь осколочно проникли в грекоязычные страны. Математики, жившие в Александрии, несмотря на их греческие имена -- Зенодор, трактовавший изопериметрические фигуры, Серен, изучавший свойства гармонического пучка лучей в пространстве, Гипсикл, предложивший халдейское деление круга, и прежде всего Диофант, -- несомненно, все без исключения арамейцы, а их труды составляют лишь незначительную часть литературы, написанной преимущественно на сирийском языке [7]. Эта математика нашла свое завершение в арабско-исламских изысканиях, и спустя долгий промежуток времени на смену ей пришла, уже как совершенно новый росток на новой почве, наша математика, которую мы в странном ослеплении принимаем за математику вообще, вершину и цель двухтысячелетнего развития, и срок жизни которой, насчитывающий нынче почти истекшие уже столетия, подлежит столь же строгому ограничению.

Изречение, что число есть сущность всех чувственно осязаемых вещей, осталось наиболее значимым высказыванием античной математики. Число определено здесь как мера. В нем заложено все мирочувствование души, страстно обращенной к теперь и здесь. Измерять в этом смысле -- значит измерять нечто близкое и телесное. Представим себе воплощенный идеал античного произведения искусства, свободно стоящую статую обнаженного человека: здесь с помощью поверхностей, меры и чувственных соотношений частей исчерпывающе дана вся существенность и значимость существования, весь его ритм. Пифагорейское понятие гармонии чисел, хотя, по всей вероятности, и выведенное из некоего рода музыки, не знавшей полифонии и гармонии и стремившейся путем совершенствования своих инструментов к пастозному и почти телесному унисону, представляется явно сформулированным для идеала этой пластики. Обработанный камень лишь постольку представляет собою нечто, поскольку обладает тщательно обдуманными границами и размеренными формами, в качестве того, чем он стал под резцом художника. Помимо этого он есть хаос, нечто еще не осуществленное, стало быть, пока еще ничто. Это чувство, расширенное до грандиозных масштабов, порождает, в противовес состоянию хаоса, состояние космоса, просветленное место во внешнем мире античной души, гармонический распорядок всех надежно разграниченных и осязаемо присутствующих единичных вещей. Сумма этих вещей и есть уже весь мир. Разделяющая их дистанция, наше исполненное всего пафоса возвышенного символа мировое пространство есть ничто, то to' mh' o]n. Протяженность значит для античных людей телесность, для нас - пространство, функцией которого "являются" вещи. Глядя отсюда назад, мы, должно быть, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, a]peiron [a] Анаксимандра, не переводимое ни на один из языков Запада, -- это то, у чего нет никакого "числа" в пифагорейском смысле, никакой измеримой величины и границы, следовательно, никакой сущности; нечто безмерное, бесформенное, статуя, не высеченная еще из каменной глыбы. Это a'rch; [b], лишенное оптических границ и форм и становящееся чем-то сущим, именно, миром лишь с помощью границ, чувственного обособления. Это то, что лежит в основе античного познания как априорная форма, некая телесность в себе, и место чего занимает в кантонской картине мира точный коррелят пространства, из которого Кант смог-де "мысленно дедуцировать все вещи".

Теперь можно будет понять, что отделяет одну математику от другой, в особенности античную от западной. Зрелое античное мышление согласно всему своему мирочувствованию способно было видеть в математике лишь учение о соотношении величин, мер и форм воплощенных тел. Когда, следуя этому чувству, Пифагор изрек решающую формулу, число было для него как раз оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но межевым знаком ставшего, поскольку последнее выступает в чувственно обозримых частностях. Вся античность без исключения понимает числа как единицы меры, как величины, отрезки, поверхности. Иной род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика по самой своей сути есть стереометрия. Евклид, завершивший в III веке ее систему, говоря о треугольнике, с глубочайшей необходимостью имеет в виду ограниченную поверхность тела, но никогда -- систему трех пересекающихся прямых линий или группу трех точек в трехмерном пространстве. Он характеризует линию как "длину без ширины" (mh[kow a;plate;w). В наших устах эта дефиниция была бы жалкой. В пределах античной математики она превосходна.

Но и западное число, вопреки мнению Канта и даже Гельмгольца, изошло не из времени, как априорной формы созерцания, но в качестве порядка однородных единиц является чем-то специфически пространственным. Действительное время, как это прояснится в дальнейшем, не имеет ничего общего с математическими вещами. Числа принадлежат исключительно к сфере протяженного. Но существует столько же возможностей, а значит, и необходимостей упорядоченного представления протяженного, сколько существует культур. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но о размежеванных для телесного глаза и осязаемых единицах. Поэтому античность -- это следует необходимым образом -- знает только "естественные" (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и прочих систем играют ничем не примечательную роль.

Оттого представление об иррациональных числах, стало быть, в нашей орфографии, о бесконечных десятичных дробях осталось недосягаемым для греческого духа. Евклид говорит -- и следовало бы точнее понимать его, -- что несоизмеримые отрезки ведут себя "не как числа". Фактически же в законченном понятии иррационального числа налицо полное отделение понятия числа от понятия величины, и как раз потому, что подобное число, например p, никогда не может быть демаркировано или точно изображено с помощью какого-либо отрезка. Но отсюда следует, что в представлении, скажем, об отношении стороны квадрата к диагонали античное число, которое есть абсолютно чувственная граница и замкнутая величина, внезапно соприкасается с совершенно иным родом числа, по самой сути своей остающимся для античного мирочувствования чуждым и поэтому жутким, как если бы вдруг оказались близки к тому, чтобы вскрыть опасную тайну собственного существования. Об этом свидетельствует странный позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые нарушил тайну рассмотрения иррационального и предал ее гласности, погиб при кораблекрушении, "поскольку несказанное и безобразное всегда должны пребывать сокрытыми". Кто почувствует страх, лежащий в основе этого мифа, -- тот самый страх, который постоянно отпугивал греков наиболее зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные ландшафты, от устройства широких улиц и аллей с открытыми видами и рассчитанной отделкой, от вавилонской астрономии с ее проникновением в бесконечные звездные пространства и от использования средиземноморских путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, -- глубокий метафизический страх перед растворением осязаемо-чувственного и настоящего, того именно, чем античное существование как бы огораживало себя защитной стеной, за которой дремало что-то леденящее, бездна и первопричина этого в известной степени искусственно смастеренного и утвержденного космоса, -- кто уяснит себе это чувство, тому откроется также последний смысл античного числа, меры, противопоставленной безмерному, и высокий религиозный этос, заключенный в его ограничении. Гёте, как естествоиспытатель, отлично это знал -- отсюда его почти боязливое сопротивление математике, направленное по сути и, конечно, непроизвольно, чего еще никто вполне не понял, против неантичной математики и лежащего в основе современного ему естествознания счисления бесконечно малых .

Античная религиозность с возрастающей энергией сосредоточивается в чувственно очевидных -- локализованных -- культах, соответствующих исключительно капищу "евклидовских" богов. Абстрактные, парящие в безродных пространствах мышления догмы всегда оставались ей чуждыми. Какой-нибудь подобный культ и какой-нибудь папский догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. Евклидовой математике, бесспорно, присуще что-то культовое. Достаточно вспомнить тайное учение пифагорейцев и учение о правильных полиэдрах с их значением для эсотерики платоновского круга. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечного, начиная с Декарта, с одновременной догматикой в ее поступательном движении от последних решений Реформации и Контрреформации к чистому, освобожденному от всех чувственных драпировок деизму. Декарт и Паскаль были математиками и янсенистами. Лейбниц был математиком и пиетистом. Вольтер, Лагранж и Д'Аламбер -- современники. Из глубин античной душевности принцип иррационального, стало быть, разрушение статуарного ряда целых чисел, представителей совершенного в себе мироустройства, ощущался как кощунство против божественного вообще. У Платона, в Тимее, это чувство явлено со всей очевидностью. С превращением дискретного ряда чисел в континуум сомнительным фактически оказывается не только античное понятие числа, но и само понятие античного мира. Теперь уже понятно, что даже отрицательные числа, без труда укладывающиеся в наше представление, не говоря уже о нуле как числе -- этом мечтательном творении, исполненном удивительной энергии обесчувствления и оказывающемся для индийской души, которая измыслила его в качестве основания для позиционной системы цифр, прямо-таки ключом к смыслу бытия, -- невозможны в античной математике. Отрицательных величин не существует. Выражение -2 · -3 = +6 не несет в себе ни следа наглядности или представления какой-либо величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом изображении отрицательных чисел
(+3 +2 +1 0 -1 -2 -3)
(·---·---·---·---·---·---·),

начиная с нуля, отрезки внезапно становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они означают нечто, но уже не суть нечто. Осуществление этого акта отклонилось, однако, от линии античного числового мышления.

Таким образом, все рожденное из античного бодрствования достигало ранга действительности только благодаря пластической разграниченности. То, чего нельзя изобразить, не есть "число". Платон, Архит и Евдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую и третью степень, и само собой разумеется, что понятие высших целочисленных степеней не является для них реальным. Четвертая степень для пластического по сути своей чувства, которое тотчас же припишет этому выражению четырехмерную и к тому же материальную протяженность, была бы бессмыслицей. Выражение вроде е-iх, постоянно фигурирующее в наших формулах, или даже применявшееся уже в XIV столетии Николаем Оресмом обозначение 5 1/2 показались бы ему чистейшим абсурдом. Евклид называет сомножители произведения сторонами (pleurai'). Оперируют с дробями -- конечными, разумеется, -- исследуя целочисленное отношение двух отрезков. Именно поэтому представление о числе "нуль" никак не может возникнуть, ибо графически оно лишено всякого смысла. Не следует только возражать, исходя из привычек нашего иначе устроенного мышления, что это-де именно "первоначальная ступень" в развитии математики вообще. Античная математика в пределах мира, сотворенного вокруг себя античным человеком, есть нечто совершенное. Только для нас она не такова. Вавилонская и индийская математики с давних пор сделали существенными компонентами своих числовых миров то, что античному чувству числа казалось бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Математика как таковая, повторим это снова, есть иллюзия. Математический и вообще научный способ мышления правилен, убедителен, "логически неизбежен" лишь в том случае, когда он полностью соответствует исконному чувству жизни. В противном случае он невозможен, опрометчив, нелеп или, отдавая предпочтение нашему спесиво-историческому способу выражения, "примитивен". Современная математика, этот шедевр западного духа "истинный", разумеется, только для него, -- показалась бы Платону смешным и жалким заблуждением на пути, ведущем к истинной, именно античной математике; мы едва ли в силах даже представить себе, сколько великих мыслей чужих культур нашли в нас свою погибель, поскольку мы, исходя из нашего мышления и его границ, не смогли их ассимилировать или, что то же, ощущали их ложными, ненужными и бессмысленными.

6

Античная математика, будучи учением о наглядных величинах, стремится исключительно к истолкованию фактов осязаемо-наличного порядка и ограничивает, таким образом, свое исследование, как и область своей значимости, примерами близлежащего и малого. По сравнению с этой последовательностью в практическом поведении западной математики обнаруживается нечто нелогичное, что, собственно, стало вполне явным лишь после открытия неевклидовых геометрий. Числа суть структуры освобожденного от чувственного восприятия понимания, чистого мышления [8]. Они несут свою абстрактную значимость в самих себе. Их точная применимость к действительности понимающего восприятия есть, напротив, самостоятельная проблема, притом такая, которая всегда ставилась и никогда не получала удовлетворительного разрешения. Совпадение математических систем с фактами повседневного опыта поначалу не представляется чем-то само собою понятным. Вопреки предрассудку профанов о непосредственной математической очевидности созерцания, как это провозглашается у Шопенгауэра, евклидова геометрия, тождественная на первый взгляд с популярной геометрией всех времен, лишь в очень узких границах ("на бумаге") приблизительно согласуется с созерцанием. Как обстоит дело в случае больших расстояний, видно из простого факта, что для нашего зрения параллельные линии пересекаются на горизонте. На этом покоится вся живописная перспектива. И все-таки Кант, который непростительным для западного мыслителя образом уклонился от "математики далей", ссылался на примеры фигур, в которых как раз вследствие их малости нисколько не могла обнаружиться специфически западная проблема инфинитезимального пространства. Хотя Евклид равным образом избегал ссылок -- в пользу созерцательной достоверности своих аксиом -- на треугольник, выделенные точки которого образуются местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами и который, следовательно, не мог быть ни начерчен, ни "созерцаем", все же для античного мыслителя это было вполне в порядке вещей. Здесь действенным оказывалось то же чувство, которое отпугивало от иррационального и не осмеливалось понять ничто как нуль, как число, стало быть, чувство, которое даже при созерцании космических отношений избегало безмерного, чтобы сохранить символ меры.

Аристарх Самосский, посещавший в Александрии между 288 -- 277 годами кружок астрономов, которые, бесспорно, были связаны с халдейско-персидскими школами, и спроектировавший там ту гелиоцентрическую [9] систему, которая при вторичном ее открытии Коперником предельно накалила метафизические страсти Запада -- достаточно будет вспомнить Джордано Бруно, -- представ осуществлением мощных чаяний и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре своих соборов принесло жертву идее бесконечного пространства, был во всем объеме своих мыслей с полным равнодушием воспринят античностью и в скором времени -- хочется сказать, намеренно -- вновь забыт. Число его приверженцев исчерпывалось несколькими учеными, которые почти без исключения были родом из Передней Азии. Его наиболее известный защитник, Селевк (ок. 150 года), был выходцем из персидской Селевкии на Тигре. Фактически Аристархова система мира для этой культуры душевно лишена какого-либо значения. Она могла бы стать даже опасной для ее мирочувствования. И все-таки в отличие от системы Коперника -- этот решающий факт всегда упускали из виду -- ее особая формулировка тщательно подгоняла ее к античному мирочувствованию. Аристарх допускал в качестве замкнутости космоса телесно вполне ограниченный, оптически доминирующий пустой шар, в середине которого находилась планетная система, измышленная на коперниканский лад. Античная астрономия всегда принимала землю и небесные тела за нечто двоякое, как бы ни толковались при этом их движения в частности. Назревавшая уже у Николая Кузанского и Леонардо мысль о том, что Земля есть лишь звезда в числе прочих звезд [10], прекрасно уживается как с птолемеевской системой, так и с коперниканской. Но с допущением небесного шара принцип бесконечного, который угрожал бы чувственно-античному понятию границы, был обойден. Нет даже намека на мысль о беспредельном мировом пространстве, которое здесь кажется уже неизбежным и представление о котором давно было доступно вавилонскому мышлению. Напротив, Архимед в своем знаменитом сочинении о "числе песка" -- уже само слово говорит об опровержении всякого рода инфинитезимальных тенденций, хотя его все еще считают первым шагом на пути к современному методу интегрирования, -- доказывает, что это стереометрическое тело (ибо ничем иным и не является Аристархов космос), заполненное атомами (песком), приводит к очень большим, но не бесконечным результатам. Но это и значит отрицать все то, чем является для нас анализ. Вселенная нашей физики, как это доказывают постоянно проваливающиеся и снова назойливо возникающие в умах гипотезы материально, т. е. в косвенном смысле наглядно мыслимого мирового эфира, есть строжайшее отрицание всякой материальной ограниченности. Евдокс, Аполлоний и Архимед, бесспорно самые утонченные и смелые математики античности, совершенным образом осуществили чисто оптический анализ ставшего на основании пластически-античного предельного значения, и в основном при помощи циркуля и линейки. Они пользуются глубоко продуманными и трудно доступными для нас методами интегрального исчисления, имеющими лишь мнимое сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, являющиеся вполне именованными размерами и отрезками, а не отвлеченными пространственными отношениями и значениями точек с учетом их положения в пространстве - как у Ферма и главным образом у Декарта. Сюда относится прежде всего метод исчерпывания, развитый Архимедом [11] в его недавно открытом сочинении, обращенном к Эратосфену, где он, например, выводит квадратуру сегмента параболы, опираясь на исчисление вписанных прямоугольников (а не схожих многоугольников). Но именно тот остроумный, бесконечно запутанный способ, которым он в подражание некоторым геометрическим идеям Платона достигает результата, делает почти ощутимым чудовищный контраст между этой интуицией и внешне схожей с нею паскалевской. Нет более резкой противоположности его способу -- если полностью отвлечься от римановского понятия интеграла, -- чем, к сожалению, еще и сегодня так называемые квадратуры, в которых "поверхность" обозначается как нечто ограниченное функцией, а о каком-либо графическом приеме нет уже и речи. Нигде обе математики не сходятся столь близко, и нигде непроходимая пропасть между двумя душами, выражением которых они являются, не ощущается столь отчетливым образом.

Чистые числа, сущность которых египтяне с присущей им глубокой робостью перед тайной как бы таили в кубическом стиле своей ранней архитектуры, были и для эллинов ключом к смыслу ставшего, застывшего и, следовательно, преходящего. Каменная постройка и научная система отрицают жизнь. Математическое число в качестве формального исходного принципа протяженного мира, который явствует только из человеческого бодрствования и только для него, связано через признак каузальной необходимости со смертью, как хронологическое число -- со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь строго математической формы с концом органического бытия, с явлением его неорганического остатка, трупа, все с большей отчетливостью будет обнаруживать себя как начало всякого великого искусства. Мы отмечали уже развитие ранней орнаментики на утвари и сосудах погребального культа. Числа суть символы преходящего. Застывшие формы отрицают жизнь. Формулы и законы расстилают застывшесть над картиной природы. Числа убивают. Это Матери Фауста, величественно восседающие в одиночестве, "в мирах прообразов", где

Вечный смысл стремится в вечной смене
От воплошенья к перевоплощенью.
Они лишь видят сущностей чертеж.

Здесь в предчувствии какой-то последней тайны соприкасаются Гёте и Платон. Матери, недостижимое -- идеи Платона -- обозначают возможности душевного строя, его нерожденные формы, которые в зримом мире, сложившемся с глубочайшей внутренней необходимостью из самой идеи этой душевности, осуществили себя в качестве деятельной и сотворенной культуры, как искусство, мысль, государство, религия. На этом покоится сродство числового мышления данной культуры с ее идеей мира, отношение, которое возносит это мышление над голым знанием и познанием, придавая ему значение мировоззрения, и оказывается причиной того, что существует столько же математик -- миров чисел, -- сколько существует высоких культур. Только так становится понятным и необходимым то, что величайшие математические мыслители, эти представители изобразительного искусства в царстве чисел, исходя из глубоко религиозной интуиции, обнаруживали решающие математические проблемы своей культуры. Так должно мыслить себе сотворение античного аполлонического числа Пифагором, основателем религии. Это же прачувство сопровождало Николая Кузанского, великого епископа Бриксенского, когда он около 1450 года, отправляясь от созерцания бесконечности Бога в природе, открыл основы счисления бесконечно малых. Лейбниц, окончательно установивший спустя два столетия методы и обозначения этого счисления, сам, исходя из чисто метафизических размышлений над божественным принципом и его отношением к бесконечно протяженному, развил идею analysis situs, эту, должно быть, наиболее гениальную интерпретацию чистого, освобожденного от всего чувственного, пространства, богатые возможности которой были раскрыты лишь в XIX веке Грасманом в его учении о протяженности и особенно Риманом, ее действительным творцом, в символике двухсторонних плоскостей, выражающих природу уравнений. А Кеплер и Ньютон, оба строго религиозные натуры, оставались, подобно Платону, при убеждении, что им удалось как раз через посредство чисел интуитивно постичь сущность божественного миропорядка.

7

Стало уже общим местом, что лишь Диофант освободил античную арифметику от ее чувственной связанности, расширил и продолжил ее и хотя и не создал алгебры как учения о неопределенных величинах, но совершенно внезапно, имея в виду, бесспорно, переработку уже существующих идей, дал ей изложение в пределах известной нам античной математики. Здесь, конечно, налицо не обогащение, а полное преодоление античного мирочувствования, и уже одно это должно было бы доказать, что Диофант внутренне не принадлежал больше к античной культуре. В отношении действительного, ставшего в нем активизируется новое чувство чисел или, скажем, чувство предела, уже не прежнее, эллинское, из ощутимо-наличных предельных значений которого развились наряду с евклидовой геометрией осязаемых тел также пластика нагой статуи и деньги в форме монет. Подробностей формирования этой новой математики мы не знаем. Диофант выглядит в "позднеантичной" математике столь одиноким, что подумывали даже об индийском влиянии. Но здесь снова сказалось воздействие тех раннеарабских школ, научные штудии которых, за вычетом догматических, столь мало еще исследованы. У него, на фоне евклидовского хода мыслей, обнаруживается это новое чувство предела -- я буду называть его магическим, -- даже и не сознающее пока своей противоположности искомой античной формулировке. Идея числа как величины не расширяется, а незаметно распадается. Что значит неопределенное число а и что -- отвлеченное число 3, оба не являющиеся ни величинами, ни мерами, ни отрезками, -- этого не смог бы сказать ни один грек. Новое, оконкреченное в этих родах чисел чувство предела лежит по меньшей мере в основе диофантовских рассуждений; само же привычное нам вычисление при помощи буквенных символов, которыми нынче излагается получившая тем временем еще одно совершенно иное толкование алгебра, было впервые введено Виетом в 1591 году в качестве ощутимой, но бессознательной оппозиции антикизирующему счислению Ренессанса.

Диофант жил около 250 года после Р. X., стало быть, в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой до сих пор был погребен под поверхностными формами эпохи римских императоров и "средневековья" [12] и к которой принадлежит все то, что возникло с начала нашего летосчисления в ландшафте грядущего ислама. Именно тогда, в самом преддверии нового ощущения пространства купольных сооружений, мозаик и саркофаговых рельефов раннехристианско-сирийского стиля, рассеялся последний призрак аттической статуарной пластики. Тогда снова воспроизводилось архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда же и завершал Диоклетиан образование халифата лишь кажущейся еще таковой Римской империи. 500 лет пролегли между Евклидом и Диофантом, между Платоном и Плотином, между последним замыкающим мыслителем -- Кантом -- законченной культуры и первым схоластиком -- Дунсом Скотом -- только что пробужденной культуры.

Здесь мы впервые сталкиваемся с неведомым до сих пор существованием тех великих индивидуумов, становление, рост и увядание которых под тысячекрасочной, сбивающей с толку поверхностью составляют действительную субстанцию всемирной истории. Завершившаяся в римском интеллекте античная душевность, "телом" которой служит античная культура во всем объеме своих произведений, мыслей, деяний и руин, родилась около 1100 года до Р. X. из ландшафта Эгейского моря. Арабская культура, прорастающая со времен Августа на Востоке под покровом античной цивилизации, происходит, несомненно, из недр ландшафта между Арменией и Южной Аравией, Александрией и Ктесифоном. Выражением этой новой души следует считать почти все "позднеантичное" искусство эпохи императоров, всю совокупность исполненных юношеского пыла восточных культов, мандейскую и манихейскую религии, христианство и неоплатонизм, императорские форумы в Риме и построенный там Пантеон, эту самую раннюю из всех мечетей.

То, что в Александрии и Антиохии все еще продолжали писать по-гречески и полагали, что мыслят по-гречески, играет не большую роль, чем тот факт, что наука Запада вплоть до Канта предпочитала латинский язык и что Карл Великий "обновил" Римскую империю.

У Диофанта число уже не является мерой и сущностью пластических вещей. На равеннских мозаиках человек уже не есть тело. Незаметным образом греческие обозначения утратили свое первоначальное содержание. Мы покидаем область аттической kaloka'gau]i;a [c], стоической ajtaraxi;a [d] и galh;nh [e]. Хотя Диофанту еще не знакомы нуль и отрицательные числа, зато пластические единства пифагорейских чисел ему уже не знакомы. С другой стороны, и неопределенность отвлеченных арабских чисел является все же чем-то совершенно иным, чем закономерная изменчивость более позднего, западного числа, функции.

Магическая математика уже после Диофанта -- предполагающего, кстати, наличие некой предшествующей стадии развития -- логически и в широкой линии, детали которой нам неизвестны, продолжала развиваться и достигла завершения в эпоху Абассидов к IX столетию, как это доказывает уровень знаний у аль-Хорезми и аль-Сидшзи. То, что рядом с евклидовой геометрией означает аттическая пластика -- одинаковый язык форм в ином одеянии -- или рядом с анализом пространства полифонический стиль инструментальной музыки, то же рядом с этой алгеброй означает магическое искусство мозаик, сасанидских, а позже и все более пышно отделанных византийских арабесок с их чувственно-нечувственными отзвуками мотивов органических форм и, наконец, горельефов константиновского стиля с зыбкой глубинной тьмой выдолбленного между свободно изваянными фигурами фона. Как алгебра относится к античной арифметике и к западному анализу, так купольная церковь относится к дорическому храму и к готическому собору.

Не надо думать, что Диофант был великим математиком. Большая часть того, что связывается с его именем, не фигурирует в его сочинениях, а то, что там фигурирует, наверняка не принадлежит ему одному. Его случайное значение обусловлено тем, что у него -- насколько об этом позволяет судить уровень наших сведений -- впервые очевидным образом обнаруживается новое чувство чисел. По сравнению с мастерами, завершающими математику, как Аполлоний и Архимед античную и соответственно Гаусс, Коши, Риман западную, у Диофанта, прежде всего в языке его формул, бросается в глаза что-то примитивное, что до сих пор охотно называли позднеантичным упадком. Со временем научатся еще - по модели переоценки прямо-таки презираемого до недавнего времени мнимого позднеантичного искусства, которое вдруг начало слыть пробным выражением вот-вот пробуждающегося раннеарабского мирочувствования, -- понимать и оценивать это. Столь же архаично, примитивно и ищуще действует математика Николая Оресма, епископа Лизье (1323 -- 1382), впервые применившего на Западе свободную разновидность координат и даже степени с дробными показателями, которые смутно еще, хотя и непреложно, предполагают совершенно неантичное, но уже и не арабское чувство чисел. Достаточно вспомнить наряду с Диофантом раннехристианские саркофаги римских собраний, а наряду с Оресмом -- готические облаченные статуи немецких соборов, чтобы подметить нечто родственное и в математических ходах мысли, изображающих у обоих одинаково раннюю ступень абстрактного понимания. Стереометрическое чувство предела, достигшее исключительной утонченности и элегантности у Архимеда и имеющее предпосылкой городской кругозор мышления, давно уже исчезло. Всюду в раннеарабском мире царило смутное, ностальгическое, мистическое настроение, в котором не оставалось и следа аттической ясности и свободы. Мир этот заселяли связанные с землею люди раннего ландшафта, а не жители большого города, как Евклид и Д'Аламбер [13]. Вместо ставших непонятными глубоких и сложных конструкций античного мышления выступили запутанные и новые, для которых еще долго не могла быть подыскана ясная, по городским меркам умная формулировка. Таково готическое состояние всех юных культур, пройденное и самой античностью в раннедорическую эпоху, от которой не осталось ничего, кроме керамических изделий дипилоновского стиля. И лишь в Багдаде в IX и X веках скороспелые концепции эпохи Диофанта были разработаны и завершены зрелыми мастерами, не уступающими по значению Платону и Гауссу.

8

Важнейшее деяние Декарта, чья геометрия появилась в 1637 году, состояло не во внедрении нового метода или воззрения в область традиционной геометрии, как это постоянно подчеркивается, а в окончательной концепции новой идеи чисел, проявившейся в освобождении геометрии от оптического манипулирования конструкцией и вообще от измеренных или измеримых отрезков . Тем самым анализ бесконечного стал фактом. Неподвижная, так называемая картезианская система координат, идеальный представитель измеримых величин в полуевклидовском смысле, имевшая огромное значение и в предшествующий период, у Оресма например, была не усовершенствована Декартом, но -- если глубже проникнуть в его рассуждения -- преодолена. Современник Декарта Ферма был ее последним классическим представителем.

Вместо чувственного элемента конкретного отрезка и поверхности -- специфического выражения античного чувства предела -- выступает абстрактно-пространственный и, значит, неантичный элемент точки, характеризуемый отныне как группа сопряженных чистых чисел. Декарт разрушил унаследованное через античные тексты и арабскую традицию понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением соотнесенности положений в пространстве. Но то, что это было устранением геометрии вообще, которая влачит с тех пор в пределах числового мира анализа лишь завуалированное античными реминисценциями призрачное существование, осталось незамеченным. Слово "геометрия" имеет безусловно аполлонический смысл. Начиная с Декарта, эта мнимая "новая геометрия" оказывается либо синтетической процедурой, определяющей посредством чисел положение точек в каком-либо -- уже не обязательно трехмерном -- пространстве ("точечной множественности"), либо аналитической процедурой, определяющей числа положением точек. Но заменять отрезки положениями - значит формулировать понятие протяженности чисто пространственно, а не телесно.

Классическим примером этого разрушения унаследованной оптически-конечной геометрии представляется мне обращение круговых функций -- бывших в едва ли доступном нам смысле "числами" индийской математики -- в циклометрические функции и далее их разрешение в ряды, утратившие в сфере бесконечных чисел алгебраического анализа следы даже самого незначительного сходства с геометрическими конструкциями в стиле Евклида. Круговое число я, как и основание натуральных логарифмов е, повсеместно обнаруживаясь во всей этой сфере чисел, создает отношения, стирающие всякие границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, не носящие ни арифметического, ни геометрического характера и не склоняющие уже мысль к наглядному представлению действительно начерченного круга и к исчислению степеней.

9

В то время как античная душа в лице Пифагора пришла около 540 года к открытию своего аполлонического числа как измеримой величины, душа Запада в лице Декарта и его поколения (Паскаль, Ферма, Дезарг) нашла в точно соответствующий момент идею числа, родившуюся из страстной фаустовской тяги к бесконечному. Число как чистая величина, связанная с телесной явленностью отдельной вещи, обретает свое контрастное подобие в числе как чистом отношении [14]. Если позволительно определить античный мир, космос, отправляясь от глубокой потребности в зримой ограниченности, как исчислимую сумму материальных вещей, то наше мирочувствование осуществляется в образе бесконечного пространства, в котором все зримое, как нечто обусловленное на фоне безусловного, ощущается почти как действительность второго порядка. Его символом является решающее, не намеченное ни в какой другой культуре понятие функции. Функция меньше всего представляет собою расширение какого-либо из существующих понятий числа; она есть полное их преодоление. Тем самым не только евклидова и, значит, "общечеловеческая", покоящаяся на повседневном опыте геометрия детей и неучей, но и архимедовская сфера элементарного счисления, арифметика, теряет значимость для действительно значимой математики Западной Европы. Существует только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были замкнутыми в себе и законченными науками высшего порядка, причем науками наглядными и оперирующими с числами путем начертательных или вычислительных процедур; для нас они только практические пособия повседневной жизни. Сложение и умножение, эти оба античных метода счисления величин, кровно-родственные начертательной конструкции, полностью исчезают в бесконечности функциональных процессов. Так, степень, являющаяся прежде всего лишь числовым обозначением определенной группы умножений (произведений равной величины), целиком отделяется от понятия величины посредством нового символа показателя степени (логарифм) и его применения в комплексных, отрицательных, дробных формах и переносится в трансцендентный мир отношений, который грекам, знавшим только две положительные целочисленные степени, представляющие плоскости и тела, должен был оставаться недоступным (достаточно лишь вспомнить выражения типа е-х, pЦx, a1/i).

Все глубокомысленные творения, быстро следующие друг за другом, начиная с Ренессанса, -- мнимые и комплексные числа, введенные Кардано уже в 1550 году, бесконечные ряды, получившие прочное теоретическое обоснование через великое открытие биномиальной теоремы Ньютоном в 1666 году, создание логарифмов около 1610 года, дифференциальной геометрии, определенного интеграла Лейбницем, создание множества как новой числовой единицы, намеченное уже Декартом, новые процессы вроде неопределенного интегрирования, развития функций в ряды, даже в бесконечные ряды других функций, -- все они равным образом знаменуют триумф над популярно-чувственным ощущением чисел, которое надлежало преодолеть из духа новой математики, предназначенной к претворению в жизнь нового мирочувствования. До сих пор не существовало второй такой культуры, которая воздавала бы столько почестей свершениям иной, давно угасшей культуры и была бы в научном смысле столь податливой к влияниям, как западная по отношению к античной. Прошло немало времени, пока мы нашли в себе мужество думать собственным умом. В основе лежало постоянное желание подражать античности. И все-таки каждый шаг был в этом смысле фактическим удалением от искомой цели. Оттого история западного знания есть история поступательной эмансипации от античного мышления, история освобождения, которое, не будучи даже желанным, форсировалось глубинами бессознательного. Так, развитие новой математики принимало формы тайной, затяжной, наконец, победной борьбы против понятия величины [15].

10

Антикизирующие предрассудки помешали нам на новый лад обозначить собственно западное число как таковое. Современный язык знаков в математике фальсифицирует фактическую суть дела, и именно ему следовало бы прежде всего приписать то, что еще и по сей день даже среди математиков господствует мнение, будто числа суть величины, ибо как раз на этой предпосылке и покоится наш способ письменного обозначения.

Но не эти служащие выражением функции отдельные знаки (x, p, 5) есть новое число, а сама функция как единство, как элемент, как переменное и не подлежащее уже заключению в оптические границы отношение. Для него понадобился бы новый язык формул, не подвергшийся в своей структуре влиянию античных воззрений.

Надо представить себе разницу двух таких уравнений -- не следовало бы даже объединять этим словом столь разнородные вещи, -- как 3x + 4x = 5х и хn + уn = zn (уравнение теоремы Ферма). Первое состоит из нескольких "античных чисел" (величин), второе есть число иного рода, что, впрочем, маскируется идентичным способом начертания, развившимся под впечатлением евклидово-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства фиксирует неподвижную связь определенных осязаемых величин; во втором он являет собою отношение, существующее в пределах группы переменных образований, причем таким образом, что некоторые изменения с неизбежностью влекут за собою другие. Первое уравнение ставит себе целью определение (измерение) конкретной величины, "результата"; второе вообще лишено результата, но есть лишь отображение и знак некоего отношения, исключающего при условии n>2 -- в этом и состоит знаменитая проблема Ферма -- потенциально доказуемые целочисленные значения. Греческий математик не понял бы, чего, собственно, добиваются операциями этого рода, конечная цель которых никак не сводится к "исчислению".

Понятие неизвестных полностью сбивает с толку, если применить его к буквам уравнения Ферма. В первом, "античном", уравнении х есть величина определенная и измеримая, которую должно установить. Во втором слово "определять" лишено применительно к х, у, z всякого смысла, следовательно, никто и не собирается устанавливать "значение" этих символов, следовательно, они вообще не являются числами в пластическом смысле, но знаками некоего отношения, в котором отсутствуют признаки величины, формы и однозначности, знаками бесконечности возможных положений одинакового характера, которые, будучи поняты как единство, и суть само число. В идеографической записи, применяющей, к сожалению, множество сбивающих с толку знаков, все уравнение в целом фактически представляет собою одно-единственное число, а х, у, z в столь же малой степени являются числами, как + и =.

Ибо уже с понятием иррациональных, по сути своей совершенно антиэллинских чисел было искоренено понятие конкретного, определенного числа. Отныне эти числа образуют уже не какой-то обозримый ряд возрастающих, дискретных, пластических величин, но прежде всего одномерный континуум, в котором каждое сечение (в смысле Дедекинда) представляет "число", едва ли заслуживающее прежнего обозначения. Для античного образа мыслей между 1 и 3 существует только одно число, для западного -- бесконечное множество. Наконец, с введением мнимых (Ц-1=i) и комплексных чисел (общей формы а+bi), расширяющих линейный континуум до в высшей степени трансцендентного образования числового тела (совокупности некоего множества однородных элементов), в котором каждое сечение представляет собою числовую плоскость -- некое бесконечное множество меньшей "мощности", скажем совокупности всех реальных чисел, -- были разрушены последние остатки антично-популярной осязаемости. Эти числовые плоскости, играющие со времен Коши и Гаусса важную роль в теории функций, суть чисто умственные конструкции. Даже положительное иррациональное число, как Ц2, когда его исключали как число, могло -- по крайней мере негативно -- быть до некоторой степени конципировано античным числовым мышлением, как a]rjrJhtow [f] и a]logow [g]; выражения типа х+уi находятся уже за пределами возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплекса, в пределах которого они остаются постоянно применимыми, покоится теория функций, представляющая, наконец, западную математику во всей ее чистоте, поскольку все частные области охватываются ею и в ней растворяются. Только так оказывается эта математика вполне применимой к картине одновременно развивающейся динамической физики Запада, между тем как античная математика представляет собою точное подобие мира пластических единичностей, теоретически и механически трактуемого в статической физике от Левкиппа до Архимеда.

Классическим веком этой математики барокко -- в противоположность математике ионического стиля -- является XVIII столетие, простирающееся от решающих открытий Ньютона и Лейбница через Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Д'Аламбера до Гаусса. Взлет этого мощного духовного создания оборачивался неким чудом. Едва осмеливались верить тому, что представало взору. Находили истины за истинами, казавшиеся невозможными утонченным умам скептически настроенной эпохи. Сюда относится слово Д'Аламбера: Aller en avant et la foi vous viendra [h]. Оно касалось теории дифференциальных отношений. Казалось, сама логика сопротивляется этому, все допущения, казалось, покоятся на ошибках, а цели все же достигали.

Это столетие возвышенного опьянения абстрактными, отрешенными от телесного глаза формами -- ибо рядом с упомянутыми мастерами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн, Моцарт, -- столетие, в котором лишь небольшой круг избранных и глубоких умов наслаждался изысканнейшими открытиями и дерзаниями, к чему не имели доступа Гёте и Кант, в точности соответствует по своему содержанию наиболее зрелому столетию ионики, веку Евдокса и Архита (440 -- 350) -- сюда опять следует прибавить Фидия, Поликлета, Алкамена и постройки Акрополя, -- когда мир форм античной математики и пластики расцвел во всей полноте своих возможностей и пришел к своему завершению.

Только теперь стихийная противоположность античной и западной душевности полностью открывается взору. Во всей картине истории высшего человечества при таком изобилии и интенсивности исторических отношений не существует ничего внутренне более чуждого друг другу. И как раз оттого, что противоположности соприкасаются и указуют на некую возможную общность в последних глубинах бытия, мы находим в западной, фаустовской душе это ностальгическое взыскание идеала аполлонической души, которой только и принадлежала ее любовь и которая возбуждала ее зависть силою своей преданности чувственно-чистому настоящему.

11

Уже было замечено, что в первобытном человечестве, как и в ребенке, выступает некое внутреннее переживание, связанное с рождением Я, когда они постигают смысл числа и овладевают таким образом соотнесенным с Я окружающим миром.

Как только из хаоса впечатлений перед изумленным взором раннего человека начинает в громадных контурах вырисовываться брезжущий мир упорядоченных протяженностей, осмысленно ставшего, и глубоко ощущаемая, непреложная противоположность этого внешнего мира собственному внутреннему миру сообщает бодрствующей жизни направление и гештальт, в душе, осознавшей внезапно свое одиночество, пробуждается одновременно прачувство тоски. Тоски по цели становления, по завершению и осуществлению всех внутренних возможностей, по раскрытию идеи собственного существования. Тоски ребенка, с растущей ясностью вступающей в сознание как чувство неудержимого направления и позже стоящей перед зрелым умом в виде зловещей, манящей, неразрешимой загадки времени. Слова "прошлое" и "будущее" получают вдруг роковое значение.

Но это тоскующее вожделение, проистекающее из избытка и блаженства внутреннего становления, оборачивается в сокровеннейших глубинах каждой души в то же время и страхом. Как всякое становление движется к ставшему, которым оно завершается, так и прачувство становления, тоска, соприкасается уже с прачувством ставшесги, со страхом. В настоящем ощущается протекание; на прошедшем лежит бренность. Здесь коренится извечный страх перед непререкаемым, достигнутым, окончательным, перед преходящим, перед самим миром как осуществленностью, где вместе с границей рождения положена одновременно граница смерти, страх перед мгновением, когда осуществлено возможное и жизнь внутренне исполнена и завершена, когда сознание стоит у цели. Это тот глубокий мировой страх детской души, который никогда не покидает высшего человека, верующего, поэта, художника в его безграничном уединении, страх перед чуждыми силами, великими и угрожающими, облаченными в чувственные явления, вторгающимися в светающий мир. Даже направление во всяком становлении при всей своей неумолимости -- необратимости -- подвергается человеческой пытливостью освидетельствованию в слове, как нечто чуждое и враждебное, с целью заклятия вечно непонятного. Чем-то совершенно непостижимым предстает то, что превращает будущее в прошедшее, и это сообщает времени -- в противоположность пространству -- ту полную противоречий зловещесть и гнетущую двусмысленность, от которых не в силах полностью отделаться ни один значительный человек.

Мировой страх есть, несомненно, наиболее творческое из всех прачувствований. Ему обязан человек самыми зрелыми и глубокими формами и ликами не только своей сознательной внутренней жизни, но и ее отражения в бесчисленных образованиях внешней культуры. Словно некая таинственная мелодия, доступная не всякому слуху, проходит этот страх сквозь язык форм каждого подлинного творения искусства, каждой прочувствованной философии, каждого значительного деяния, и он же лежит, ощущаемый лишь немногими, в основе великих проблем всякой математики. Только внутренне умерший человек поздних городов, Вавилона Хаммурапи, птолемеевской Александрии, исламского Багдада или нынешних Парижа и Берлина, только чисто интеллектуальный софист, сенсуалист и дарвинист утрачивает или отрицает его, отделяя себя от чуждого лишенной тайн заставкой "научного мировоззрения".

Если тоска оказывается связанной с тем неуловимым нечто, которое в знамениях тысячеликого зыбкого существования скорее прикрывается, чем обозначается словом "время", то прачувство страха находит свое выражение в духовных, постижимых, пластичных символах протяженности. Так, в бодрствовании каждой культуры, всякий раз в ином обличье, выступают встречные формы времени и пространства, направления и протяженности, где первая лежит в основе второй, как становление в основе ставшего -- ибо и тоска лежит в основе страха, становится страхом, а не наоборот, -- первая не поддающаяся силе разумения, вторая служащая ей, первая открытая только для переживания, вторая только для познания. "Бояться и любить Бога" -- вот христианское выражение обоюдного смысла этих мирочувствований.

Из души всего первобытного человечества, а. значит, и раннего детства исходит позыв заклясть, принудить, умиротворить -- "познать" элемент чуждых сил, неумолимо присутствующих во всякой протяженности, в пространстве и через пространство. В конце концов все это одно и то же. Познать Бога значит во всякой ранней мистике заворожить его, расположить его к себе, внутренне усвоить его. Это случается главным образом с помощью слова, "имени", которым именуют, призывают numen, или при отправлении культовых обрядов, в которых обитает некая таинственная сила. Каузальное, систематическое познание, полагание границ посредством понятий и чисел есть наиболее утонченная, но вместе с тем и наиболее мощная форма этой защиты. В этом смысле только через язык человек становится вполне человеком. Вызревшее в словах познание с необходимостью преображает хаос первоначальных впечатлений в "природу" со сводом законов, которым она должна подчиняться, "мир в себе" -- в "мир для нас" [16]. Оно унимает мировой страх, укрощая таинственное, придавая ему вид доступной действительности, связывая его железными правилами отчеканенного на нем языка интеллектуальных форм.

Это и есть идея "табу" [17], играющая исключительную роль в душевной жизни всех примитивных людей, хотя исконное ее содержание столь далеко от нас, что слово это уже не поддается переводу ни на один язык зрелой культуры. Растерянность и страх, священный трепет, глубокая покинутость, уныние, ненависть, смутные желания сближения, соединения, удаления - все эти изобилующие формами чувства зрелых душ смолкают в детских состояниях в тупую нерешительность. Двоякий смысл слова "заклинать", означающего одновременно "укрощать" и "умолять", может уяснить смысл той мистической процедуры, посредством которой чуждое и устрашающее делается для раннего человека "табу". Благоговейный трепет перед всем от него не зависящим, установленным, законным, перед чуждыми силами мира есть начало всякого стихийного формотворчества. В незапамятные времена оно осуществляется в орнаменте, в тщательно отделанных церемониях и ритуалах, в строгих уложениях примитивного общения. На высших ступенях великих культур эти творения, внутренне не утрачивая признаков своего происхождения, своего заклинающего и завораживающего характера, превратились в законченные миры форм отдельных искусств, религиозного, естественнонаучного и прежде всего математического мышления. Их общее средство, единственное, которое знает осуществляющая себя душа, есть символизирование протяженности, пространства или вещей -- все равно, в концепциях ли абсолютного мирового пространства физики Ньютона, во внутренних ли пространствах готических соборов и мавританских мечетей, в атмосферической ли бесконечности полотен Рембрандта и ее повторении в темных звуковых мирах бетховенских квартетов, все равно, идет ли речь о правильных полиэдрах Евклида, скульптурах Парфенона, или пирамидах Древнего Египта, Нирване Будды, отчужденности придворных нравов при Сезострисе, Юстиниане I и Людовике XIV, или, наконец, об идее Бога у Эсхила, Плотина, Данте, или об идее трансформирующей земной шар пространственной энергии в современной технике.

12

Вернемся к математике. Исходным пунктом античного формотворчества было, как мы видели, упорядочение ставшего, поскольку оно наличие, обозримо, измеримо, исчислимо. Западное, готическое чувство формы, чувство безмерной, волевой, блуждающей по всем далям души избрало символ чистого, лишенного наглядности, безграничного пространства. Не следует только обманываться относительно узкой обусловленности подобного рода символов, которые легко могут показаться нам однородными и общезначимыми. Наше бесконечное мировое пространство, реальность которого, по-видимому, не требует лишних слов, не реально для античного человека. Оно даже не укладывается в его представление. С другой стороны, эллинский космос, глубокая чуждость которого нашему способу понимания не должна была бы столь долгое время оставаться незамеченной, есть для эллина сама очевидность. По существу абсолютное пространство нашей физики является некой формой, препостулируемой множеством крайне запутанных, замалчиваемых предпосылок, -- формой, возникшей только из нашей душевности, как ее отображение и выражение, и обладающей реальностью, необходимостью и естественностью только для нашего типа бодрствующего существования. Простые понятия суть всегда труднейшие. Их простота состоит в том, что бесконечно многое из того, чего .нельзя высказать, ничуть не нуждается, в том, чтобы быть высказанным, поскольку для людей этого круга оно интуитивно застраховано, а для посторонних, разумеется по той же причине, совершенно недоступно. Речь идет о специфически западном содержании слова "пространство". Вся математика, начиная с Декарта, служит теоретической интерпретации этого высокого символа, насыщенного религиозным содержанием. Физика со времен Галилея не стремится ни к чему другому. Античной математике и физике вообще не знакомо содержание этого слова.

Также и здесь античные наименования, удержанные нами из литературного наследия греков, затемнили фактическое положение вещей. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой -- искусство счета. Математика Запада не имеет уже ничего общего с обоими этими способами ограничения, но она не подыскала себе никакого нового имени. Слово "анализ" означает далеко не всё.

Античный человек пленен в своих размышлениях отдельным телом и его граничными поверхностями, к которым косвенно принадлежат конические сечения и кривые высшего порядка. Мы, в сущности, знаем только один абстрактный элемент пространства, точку, которая, не обладая ни наглядностью, ни возможностью измерения и наименования, представляет собою просто центр отношений. Прямая линия является для грека измеримой гранью, для нас она -- неограниченный континуум точек. В качестве примера для своего инфинитезимального принципа Лейбниц приводит прямую, оказывающуюся пределом окружности с бесконечно большим радиусом, тогда как точка образует другой предел. Для грека же круг есть поверхность, и проблема сводится к тому, чтобы придать ей соизмеримую форму. Таким образом квадратура круга стала классической пограничной проблемой для разумения античных людей. Это представлялось им глубочайшей из всех проблем мировой формы: преобразить плоскости, ограниченные кривой линией, при неизменной величине, в прямоугольники и тем самым сделать их измеримыми. Для нас это сделалось обычной процедурой описания числа p алгебраическими средствами, без единого упоминания о каких-либо геометрических образованиях.

Античный математик знает лишь то, что он видит и осязает. Там, где прекращается ограниченная, ограничивающая видимость, единственная тема, доступная его мысли, там же кончается и его наука. Западный математик, поскольку он свободен от античных предрассудков и принадлежит самому себе, устремляется в совершенно абстрактную область бесконечной числовой множественности n-ных -- уже не только трехмерных -- измерений, где его так называемая геометрия может, и в большинстве случаев должна, обходиться без всякого рода наглядной помощи. Если античный человек прибегает к художественному выражению своего чувства формы, то он силится придать человеческому телу в танце и борьбе, в мраморе и бронзе ту именно осанку, при которой поверхности и контуры приобретают максимум меры и смысла. Настоящий же художник Запада закрывает глаза и замирает в области бестелесной музыки, где гармония и полифония ведут к созданиям высочайшей "потусторонности", превосходящим все возможности оптического порядка. Достаточно лишь вспомнить, что понимают под словом фигура афинский ваятель и северный контрапунктист, чтобы непосредственно представить себе контраст двух миров, двух математик. Греческие математики пользуются даже словом sv[ma для обозначения математических тел. Напротив, юридический язык употребляет его для обозначения личности в противоположность вещи (sv;mata kai' pra;gmata: personae et res [i]).

Оттого античное, целое, телесное число непроизвольно ищет связи с возникновением телесного человека, sv[ma. Число 1 почти не воспринимается еще как действительное число. Оно есть ajrch;, первоматерия числового ряда, начало всех настоящих чисел и, значит, всякой величины, всякой меры, всякой вещественности. Его числовой знак в кругу пифагорейцев во все времена был одновременно символом материнского лона, источника всяческой жизни. Число 2, первое настоящее число, удвояющее 1, получило вследствие этого связь с мужским началом, и знаком его было копирование фаллоса. Наконец, священная троица пифагорейцев обозначала акт соединения мужчины и женщины, зачатие -- эротическое толкование обоих единственно значимых для античности процессов увеличения, зачатия величин, именно, сложения и умножения, легко понять, -- и знаком ее было соединение двух первых. Отсюда проливается новый свет на упомянутый миф о кощунстве открытия иррационального. Иррациональное -- согласно нашему способу выражения, применение бесконечных десятичных дробей -- означало разрушение органически-телесного, порождающего порядка, установленного богами. Не подлежит сомнению, что пифагорейская реформа античной религии вновь положила в основу древнейший культ Деметры. Деметра родственна Гее, матери-земле. Существует глубокая связь между ее почитанием и этим возвышенным пониманием чисел.

Таким образом античность с внутренней необходимостью постепенно стала культурой малого. Аполлоническая душа стремилась заклясть смысл ставшего принципом обозримого предела; ее "табу" обращалось на непосредственное наличие и близость чуждого. Что было далеко, что было незримо, того и вовсе не было. Грек, как и римлянин, приносил жертвы богам той местности, где он пребывал; все прочие исчезали из его кругозора. Подобно тому как в греческом языке нет слова для пространства - нам придется еще неоднократно прослеживать мощную символику подобных феноменов языка, - так у грека отсутствует и наше чувство ландшафта, чувство горизонта, перспектив, далей, облаков, равным образом и понятие отечества, простирающегося далеко и охватывающего большую нацию. Родина для античного человека есть то, что он может обозреть с крепостных стен своего родного города, не больше. То, что лежало по ту сторону оптического предела этого политического атома, было чужим, было даже враждебным. Здесь и коренится страх античного существования, и этим же объясняется ужасное ожесточение, с которым эти крохотные города уничтожали друг друга. Полис есть наименьшая из всех мыслимых государственных форм, а его политика представляет собою подчеркнутую политику близких расстояний, в полном контрасте с нашей кабинетной дипломатией, политикой безграничного. Античный храм, охватываемый одним взглядом, является наименьшим из всех классических типов строения. Геометрия от Архита до Евклида занята -- как и школьная геометрия, еще и сегодня находящаяся под ее впечатлением, -- маленькими, сподручными фигурами и телами, и, таким образом, от нее остались скрытыми трудности, возникающие, когда за основу берут фигуры астрономических размеров, и не всегда допускающие применение евклидовой геометрии [18]. В противном случае тонкий аттический ум, возможно, уже тогда предугадал бы кое-что из проблематики неевклидовых геометрий, поскольку возражения против известной аксиомы о параллельных линиях [19], сомнительная и все-таки не поддающаяся корректуре формулировка которой шокировала уже с давних пор, граничили с решающим открытием. Сколь очевидно для античной мысли исключительное рассмотрение близкого и малого, столь же очевидно для нашей мысли рассмотрение бесконечного, того, что выходит за пределы зримого. Все математические воззрения, открытые или позаимствованные Западом, были явным образом подчинены языку форм бесконечно малых, задолго до того, как было открыто само дифференциальное исчисление. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика без обиняков включаются в анализ. Именно "очевиднейшие" положения элементарного счисления -- каково, скажем, 2 x 2 = 4 -- с аналитической точки зрения становятся проблемами, разрешение которых возможно лишь путем дедукций из учения о множестве, а во многих частностях не достигнуто еще и по сей день -- что наверняка показалось бы Платону и его современникам безумием и доказательством полного отсутствия математического дарования.

Можно до известной степени трактовать геометрию алгебраически или алгебру геометрически, т. е. исключать зрение или предоставлять ему все полномочия. Первое сделали мы, второе -- греки. Архимед, затрагивающий в своем прекрасном вычислении спирали некоторые общие факты, которые лежат также в основе метода определенного интеграла у Лейбница, тотчас же подчиняет свои приемы, выглядящие при поверхностном рассмотрении в высшей степени современными, стереометрическим принципам; какой-нибудь индус в подобном случае явно нашел бы тригонометрическую формулировку [20].

13

Из фундаментальной противоположности античных и западных чисел проистекает столь же коренная противоположность связи, в которой находятся друг к другу элементы каждого из этих числовых миров. Связь величин называется пропорцией, связь отношений содержится в понятии функции. Оба слова, вне сферы математики, имеют величайшее значение для техники обоих соответствующих искусств, пластики и музыки. Если полностью закрыть глаза на смысл слова "пропорция" в применении к структуре отдельной статуи, то как раз статуя, рельеф и фреска оказываются типично античными формами искусства, которые допускают увеличение и уменьшение масштаба - слова, лишенные всякого смысла в применении к музыке. Стоит только вспомнить искусство гемм, сюжеты которых были по сути уменьшениями мотивов в натуральную величину. Напротив, в теории функций решающее значение принадлежит понятию трансформации групп, а музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть новейшего учения о композиции. Я напомню лишь об одной из самых утонченных инструментальных форм XVIII столетия -- о "tema con variazioni" [j].

Всякая пропорция предполагает постоянство элементов, всякая трансформация -- их изменчивость: достаточно будет сравнить здесь правила конгруэнции в формулировке Евклида, доказательство которых фактически покоится на данном отношении 1:1, с их современным выведением при помощи круговых функций.

14

Конструкция -- содержащая в себе в широком смысле все методы элементарной арифметики -- есть альфа и омега античной математики: получение единичной и предлежащей взору фигуры. Циркуль выступает резцом этого второго пластического искусства. Способ работы при изысканиях в области теории функций, нацеленных не на результат в виде какой-то величины, а на обсуждение общих формальных возможностей, можно обозначить как своего рода учение о композиции, находящейся в близком родстве с музыкальной. Целый ряд понятий теории музыки можно было бы также без всяких оговорок применить к аналитическим операциям физики -- тональность, фразировку, хроматику и другие, -- и возникает вопрос, не приобрели бы благодаря этому многие отношения большую ясность.

Каждая конструкция утверждает видимость, каждая операция отрицает ее, поскольку первая устанавливает оптически данное, а вторая упраздняет его. Таковой предстает дальнейшая противоположность обоих видов математической процедуры: античная математика малого рассматривает конкретный единичный случай, решает определенную задачу, осуществляет разовую конструкцию. Математика бесконечного трактует целые классы формальных возможностей, группы функций, операций, уравнений, кривых, имея в виду при этом не какой-нибудь результат вообще, а сам процесс. Таким образом, вот уже два столетия -- хотя это и не дошло еще до сознания наших математиков, -- как возникла идея общей морфологии математических операций, которую позволительно признать за суть всей новейшей математики. Здесь проявляется всеобъемлющая тенденция западной духовности вообще -- в дальнейшем она проступит с большей отчетливостью, -- тенденция, являющаяся исключительным достоянием фаустовского духа и его культуры и не имеющая ничего родственного с целями прочих культур. Великое множество вопросов, занимающих нашу математику как исконнейшие ее проблемы -- соответственно квадратуре круга у греков, -- скажем, исследование критериев сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и общеалгебраических интегралов в многократные периодические функции (Абель, Гаусс), должно быть, показались бы "древним", для которых результаты сводились к простым определенным величинам, каким-то остроумным и несколько запутанным баловством -- что наверняка и сегодня отвечало бы расхожему мнению широких кругов. Нет ничего более непопулярного, чем современная математика, и в этом также по-своему сказывается символика бесконечных далей, дистанции. Все великие творения Запада, от Данте до Парсифаля, непопулярны, все античные, от Гомера до Пергамского алтаря, популярны в высшей степени.

15

И вот, наконец, все содержание западного числового мышления сосредоточивается в классической пограничной проблеме фаустовской математики, образующей ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного -- фаустовски бесконечного, -- которое в высшей степени чуждо арабскому и индийскому мирочувствованию. Речь идет о теории предельного значения, хотя бы число и рассматривалось в отдельных случаях как бесконечный ряд, кривая или функция. Это предельное значение является строжайшей противоположностью античного, которое, не будучи до сих пор так названо, обсуждалось в связи с классической пограничной проблемой квадратуры круга. Вплоть до XVIII века евклидово-популярные предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Сколь бы осторожно ни применяли само собой напрашивающееся понятие бесконечно малого, на нем остается легкий налет античной константности, видимость какой-то величины, хотя Евклид не признавал, да и не смог бы признать ее за таковую. Нуль есть константа, некое целое число в линейном континууме между +1 и - 1; аналитическим исследованиям Эйлера повредило то, что он -- как и многие вслед за ним -- считал дифференциалы нулями. Лишь окончательно разъясненное Коши понятие предельного значения устраняет этот остаток античного чувства чисел и превращает счисление бесконечно малых в свободную от противоречий систему. Только переход от "бесконечно малой величины" к "нижнему предельному значению всякой возможной конечной величины" приводит к концепции изменяющегося числа, которое движется под любой отличной от нуля конечной величиной, не неся, стало быть, в себе самом ни малейшего признака величины. Предельное значение в этой окончательной формулировке уже вообще не есть нечто такое, к чему можно приближаться. Оно само представляет собою приближение -- процесс, операцию. Оно есть не состояние, а поведение. Здесь, в этой решающей проблеме западной математики, обнаруживается внезапно, что наша душевность предрасположена исторически [21].

16

Освободить геометрию от созерцания, алгебру от понятия величины и соединить обе по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета в мощном сооружении теории функций -- таков был великий путь западного числового мышления. Таким образом античное константное число растворилось в изменяющемся. Геометрия, ставшая аналитической, растворила все конкретные формы. Она заменяет математическое тело, в неподвижном образе которого обнаруживаются геометрические значения, абстрактно пространственными отношениями, вообще неприменимыми уже к фактам чувственно-наличного созерцания. Она заменяет прежде всего оптические образования Евклида геометрическими местами точек относительно некой системы координат, исходная точка которых может быть выбрана произвольно, и сводит предметное существование геометрического объекта к требованию неизменности выбранной системы во время операции, направленной уже не на измерения, а на уравнения. Однако тотчас же координаты рассматриваются исключительно как чистые значения, не столько определяющие, сколько выражающие и заменяющие положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, символически представляется уже не образом фигуры, а образом уравнения. "Геометрия" выворачивает свой смысл наизнанку: система координат исчезает как образ, и точка является отныне совершенно абстрактной группой чисел. Переход архитектуры Ренессанса благодаря новшествам Микеланджело и Виньолы в архитектуру барокко есть точное отображение этого внутреннего превращения анализа. На фасадах дворцов и церквей чувственно чистые линии становятся как бы недействительными. Вместо ясных координат флорентийско-римской диспозиции колонн и расчленения этажей обнаруживаются "инфинитезимальные" элементы вибрирующих и вздувающихся частей здания, волют, картушей. Конструкция исчезает в изобилии декоративного -- математически говоря, функционального; колонны и пилястры, соединенные в группы и пучки, прорезывают фронтоны и, лишая глаз точки опоры, створяются и рассыпаются; плоскости стен, потолков, этажей размываются в потоке штукатурной лепки и орнаментов, исчезают и распадаются под действием красочных световых эффектов. Но и сам свет, резвящийся над этим миром форм зрелого барокко -- от Бернини около 1650 года до рококо в Дрездене, Вене, Париже, -- становится чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер -- это симфония. Вместе с математикой также и архитектура разложилась в ХVIII столетии в мир форм музыкального характера.

17

В изломах пути этой математики должен был наконец наступить момент, когда не только границы искусственных геометрических образований, но и зрительного чувства вообще стали ощущаться со стороны теории, да и самой души в ее порыве к безудержному выражению, именно как границы, как препятствия, когда, стало быть, идеал трансцендентной протяженности вступил в принципиальное противоречие с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, которая с полной покорностью платонической и стоической ataraxji;a предоставляла чувственному все права и полномочия и скорее принимала, чем отдавала, свои великие символы, как об этом свидетельствует эротическая подоплека пифагорейских чисел, не могла и в помыслах хоть раз перешагнуть телесное теперь и здесь. И если пифагорейское число обнаруживалось в сущности данных единичных вещей, то число Декарта и следовавших за ним математиков было чем-то, что надо было завоевать и взять силой, неким державным абстрактным отношением, независимым от любого рода чувственной данности и готовым всякий раз выпячивать эту независимость перед лицом природы. Воля к власти -- по великой формуле Ницше, -- характеризующая поведение северной души в отношении ее мира, начиная с самой ранней готики Эдды, соборов и крестовых походов, даже еще с хищничающих викингов и готов, заложена также и в этой энергии западного числа, обращенной против созерцания. Это и есть "динамика". В аполлонической математике ум служит глазу, в фаустовской он одолевает глаз.

Само математическое, "абсолютное", столь исключительно неантичное пространство с самого же начала представляло собою -- чего математика в своем благоговении перед эллинскими традициями не осмеливалась замечать -- не смутную пространственность будничных впечатлений, расхожей живописи, кажущегося столь однозначным и определенным априорного созерцания Канта, но чистую абстракцию, некий идеальный и неосуществимый постулат души, которую все меньше удовлетворяла чувственность как средство выражения и которая наконец страстно от нее отвернулась. Пробуждалось внутреннее зрение.

Только теперь глубоким мыслителям и должно было открыться, что евклидова геометрия, единственная и правильная на наивный взгляд всех времен, есть с этой высокой точки зрения не что иное, как гипотеза, исключительная значимость которой по сравнению с другими, даже начисто лишенными наглядности видами геометрии никогда не может быть доказана, как это доподлинно известно со времен Гаусса. Центральное положение этой геометрии, евклидова аксиома параллельных линий, является утверждением, которое можно заменить другими, именно: что через определенную точку к прямой нельзя провести ни одной параллели или можно провести сразу две и больше -- утверждения, ведущие в совокупности к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые могут быть применимы в физике, а также в астрономии, и временами оказываются более предпочтительными, чем евклидово.

Уже простое требование неограниченности протяженного -- каковую неограниченность, после Римана и его теории безграничных, но вследствие своей кривизны не бесконечных пространств, надлежит как раз отделять от бесконечности -- противоречит самому характеру всякого непосредственного созерцания, зависящего от факторов сопротивления света, следовательно, от материальных границ. Можно, однако, допустить абстрактные принципы полагания границ, превосходящих в совершенно новом смысле возможности оптического ограничения. Глубокому наблюдателю уже в картезианской геометрии заметна тенденция выйти за пределы трех измерений пережитого пространства, поскольку они не являются необходимыми границами для символики чисел. И хотя представление о многомерных пространствах -- лучше бы заменить это слово новым -- примерно с 1800 года стало расширенной основой аналитического мышления, все же первый шаг к тому был сделан в тот самый момент, когда степени, точнее, логарифмы были отделены от своей первоначальной связи с чувственно реализуемыми плоскостями и телами и -- с применением иррациональных и комплексных показателей -- введены в область функционального в качестве значений отношений совершенно общего типа. Тот, кто способен вообще уследить за ходом этих мыслей, поймет также, что уже с переходом от представления a3, как естественного максимума, к an упраздняется безусловность трехмерного пространства.

После того как элемент пространства -- точка утратила наконец все еще оптический характер координатного пересечения в наглядно представляемой системе и стала определяться группой трех независимых чисел, ничто уже не мешало тому, чтобы заменить число 3 общим числом n. Происходит обращение самого понятия измерения: уже не размерные числа обозначают оптические свойства какой-либо точки относительно, ее положения в данной системе, но неограниченное множество измерений являет совершенно абстрактные свойства некой группы чисел. Эта группа чисел -- из n-ного количества независимых упорядоченных элементов -- есть образ точки; она называется точкой. Логически разложенное из нее уравнение называется плоскостью, есть образ плоскости. Совокупность всех точек n-измерений называется n-мерным пространством [22]. В этих трансцендентных пространственных мирах, никоим образом не связанных уже с каким-либо родом чувственности, царят вскрываемые анализом отношения, которые всегда находятся в постоянном согласии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, остающийся исключительной принадлежностью западного духа. Лишь названному духу удалось заколдовать ставшее и протяженное в эти формы, заклясть, вынудить и, значит, "познать" чуждое -- вспомним понятие "табу" -- этим способом усвоения. Только в этой сфере числового мышления, доступной все еще лишь очень небольшому кругу людей, даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (вроде кватернионов векторного исчисления), и совершенно непонятные покуда знаки типа oOn получают характер чего-то действительного. Следует как раз понять, что действительность не сводится только к чувственной действительности, что душевное, напротив, может осуществлять свою идею не в наглядных, а в совершенно иных формах.

18

Из этой грандиозной интуиции символических миров пространств вытекает последняя, и заключительная, формулировка всей западной математики: расширение и одухотворение теории функций в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однородных математических образований, скажем совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, -- множества, построенные и упорядоченные аналогично дедекиндовскому числовому телу. Чувствуется, что дело идет о мирах совершенно новых чисел, не вполне лишенных для внутреннего зрения посвященного некоторого налета чувственности. Понадобятся исследования определенных элементов этих чудовищно абстрактных систем форм, остающихся по отношению к отдельной группе операций -- именно, трансформаций системы -- независимыми от воздействий последних и обладающих инвариантностью. Общая задача этой математики получает, таким образом (по Клейну), следующую форму: "Дана некая n-мерная множественность ("пространство") и группа трансформаций. Принадлежащие к этой множественности образования должны быть исследованы в отношении тех свойств, которые сохраняют неизменность в трансформациях группы".

На этой кульминационной точке -- исчерпав свои внутренние возможности и исполнив свое назначение быть отображением и чистейшим выражением идеи фаустовской душевности -- математика Запада завершает отныне свое развитие, в том же смысле как это сделала математика античной культуры в III веке. Обе науки -- единственные, органическая структура которых уже и на сей день просматривается исторически, -- возникли из концепции совершенно нового числа усилиями Пифагора и Декарта; обе столетием позже в великолепном восхождении достигли своей зрелости, и обе после трехвекового расцвета окончательно воздвигнули сооружение своих идей, в то самое время, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мирового города. Эта глубоко знаменательная связь будет разъяснена позднее. Несомненно, что время большой математики для нас уже миновало. Теперь идет работа сохранения, округления, утончения, отбора, та же талантливая кропотливая работа вместо великих творений, которая характеризует и александрийскую математику позднего эллинизма.

Историческая схема представит это в более отчетливом виде:

Античность	Запад
1. Концепция нового числа
Около 540	Около 1630
Число как величина	Число как отношение
Пифагорейцы	Декарт, Ферма, Паскаль; Ньютон, Лейбниц (1670)
(Около 470 победа пластики над фресковой живописью)	(Около 1670 победа музыки над масляной живописью)
2. Апогей систематического развития
450 -- 350	1750 -- 1800
Платон, Архит, Евдокс	Эйлер, Лагранж, Лаплас
((Фидий, Пракситель)	(Глюк, Гайдн, Моцарт)
3. Внутреннее завершение мира чисел
300 -- 250	После 1800
Евклид, Аполлоний, Архимед	Гаусс, Коши, Риман
(Лисипп, Леохар)	(Бетховен)

[1] Сюда: т. 2, гл. I, начало.

[2] О понятии человека, лишенного истории, см. т. 2, с. 58 сл.

[3] И притом с "биологическим горизонтом", ср. т. 2, с. 34.

[4] Т. 2, с. 325 сл.

[5] Сюда относится также "мышление в деньгах", т. 2, с. 599 сл.

[6] А также права и денег: т. 2, с. 69 cл., 611 cл.

[7] Ср. т. 2, с. 212, 240.

[8] Ср. т. 2, с. 11 сл.

[9] В единственном дошедшем от него сочинении он, впрочем, придерживается геоцентрической точки зрения, так что можно было бы предположить, что он лишь на время поддался чарам гипотезы какого-то халдейского ученого.

[10] F.Strunz, Gesch. d. Naturwiss. im Mittelalter, 1910, S. 90.

[11] Он был подготовлен Евдоксом и использовался при исчислении площади пирамиды и конуса -- "средство, к которому прибегали во избежание предосудительного понятия бесконечного" (Heiberg, Naturwiss. u. Math. im klass. Alt. 1912, S. 27).

[12] Ср. т. 2, гл. III.

[13] Во II веке после Р.Х. Александрия перестает быть мировым городом и превращается в оставшуюся от эпохи античной цивилизации массу домов, в которых живут примитивно чувствующие, обладающие иным душевным складом люди. Ср. т. 2, с. 122 cл.

[14] Это доподлинно соответствует отношению между отчеканенными в монету деньгами и двойной бухгалтерией в денежном мышлении обеих культур, ср. т. 2, с. 605 сл.

[15] То же самое можно сказать о римском праве (т. 2, с. 96 сл.) и о монете (т. 2, с. 611 сл.).

[16] От "магии слова" у дикарей вплоть до новейшей науки, которая подчиняет себе вещи, чеканя для них наименования, в особенности специальные термины, ничего не изменилось по форме. Ср. т. 2, с. 166 сл., 320 сл.

[17] Ср. т. 2, с. 137 сл.

[18] В современной астрономии приступают сегодня к применению неевклидовых геометрий. Допущение неограниченного, но конечного, искривленного пространства, заполняемого звездной системой диаметром, равным приблизительно 470 миллионам расстояний Земли от Солнца, привело бы к допущению некоего солнечного противообраза, который показался бы нам звездой средней яркости.

[19] Гласящей, что через точку к прямой возможна лишь одна параллель - положение никак не доказуемое.

[20] Что из известной нам индийской математики является древнеиндийским, т. е. возникшим до Будды, - этого сегодня нельзя уже установить.

[21] "Функция, правильно понятая, есть бытие, мыслимое в деятельности" (Гёте). Ср. выпуск фаустовских функциональных денег, т. 2, с. 613.

[22] С точки зрения учения о множествах вполне упорядоченное множество, независимо от числа измерений, называется телом, множество n-1 измерений, следовательно, называется в сравнении с этим плоскостью. "Ограничение" (стена, грань) точечного множества представляет собою точечное множество меньшей мощности.

[a] Бесконечное, беспредельное(греч.). -- Сайт.

[b] Начало (греч.). -- Сайт.

[c] Чистота (греч.). -- Сайт.

[d] Невозмутимость (греч.). -- Сайт.

[e] Спокойствие (греч.). -- Сайт.

[f] Неизреченный (греч.). -- Сайт.

[g] Непостижимый (греч.). -- Сайт.

[h] Идите вперед, и вера придет к вам (фр.). -- Сайт.

[i] Лица и отношения (греч., лат.). -- Сайт.

[j] Тема с вариациями (ит.). -- Сайт.